pcuevassolorza@gmail.com "escribeme"--usuario de skipe "terranova011267" telefono celular 012281493349--Sucesión de Fibonacci
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Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f10
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la sucesión infinita de números naturales
donde el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores. A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
Tabla de contenidos[ocultar]
1 Historia
2 Definición formal
3 Representaciones alternativas
3.1 Función generadora
3.2 Fórmula explícita
3.3 Forma matricial
4 Propiedades de la sucesión
5 Generalización
5.1 Sucesión de Lucas
6 La sucesión de Fibonacci en el arte
7 Algoritmos de cálculo
8 Referencias
9 Véase también
10 Enlaces externos
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Historia [editar]
La sucesión de Fibonacci en términos de conejos
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. [1]
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[2]
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Éduard Lucas, quien además es el responsable de haberla denominado de esta manera.[3]
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea fi () cuanto más se acerque n a infinito. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Bela Bartok u Olivier Messiaen la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Definición formal [editar]
Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
(1)
(2)
para
(3)
Esto produce los números
y así sucesivamente hasta el infinito.
Representaciones alternativas [editar]
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora [editar]
Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora
(4)
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
Fórmula explícita [editar]
La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia
con las condiciones iniciales
y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tiene la forma
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
(5)
Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo
de manera que la ecuación (5) se reduce a
(6)
Esta fórmula se le atribuye a Éduard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional . De hecho, la relación con este número es estrecha.
Forma matricial [editar]
Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones
Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como
Conociendo a f0 = 0 y f1 = 1, al aplicar la fórmula anterior n veces se obtiene
(7)
y más aún
(8)
Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.
Propiedades de la sucesión [editar]
Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:
La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2.
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m.
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces
y
Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n + 2 menos uno. Es decir
Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
Si , entonces para cualquier
(Identidad de Cassini)
El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente
Esto significa que y son primos relativos y que divide exactamente a
Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier ,
y más aún
Si fp = a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción, f4 = 3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente .
La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números.
Generalización [editar]
Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.
El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja de la ecuación (3) de donde se obtiene
De esta manera, si n es impar y si n es par.
La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando n es cualquier número real. La función resultante
tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:
para cualquier número real x
Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión donde
para
(9)
Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.
Una característica notable es que, si es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces
Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a
Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.
Sucesión de Lucas [editar]
Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales
Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones
para
La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus caracterísitcas. Algunas propiedades interesantes incluyen:
La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
La suma de los primeros n números de Lucas es el número que se encuentra en la posición n + 2 menos uno. Es decir
Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fobonacci mediante la igualdad
Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
La sucesión de Fibonacci en el arte [editar]
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción Lateralus siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
Algoritmos de cálculo [editar]
Para calcular el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:
Calculando f7 usando el algoritmo 1
Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad )
función
si entonces
devuelva
si no
devuelva
Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar fn + 1 − 1 sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión fn crece tan rápido como , entonces el algoritmo está en el orden de . Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular f50 este algoritmo requiere efectuar 20365011073 sumas.
Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado aún cuando el resultado correcto es f50 = 12586269025. Este error se hace cada vez más grande conforme crece n.
Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:
Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad )
función
para desde hasta haga
devuelva
Esta versión requiere efectuar sólo n sumas para calcular fn, lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular f50.
Calculando f100 usando el algoritmo 3
Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular xn como
De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, log2(n) multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma
De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores a y b, y su cuadrado se puede calcular como
Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:
Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad )
función
si entonces
devuelva
mientras 0\," src="http://upload.wikimedia.org/math/f/8/6/f8638147cda431dc7af3d7dbc8d1c798.png"> haga
si es impar entonces
devuelva
A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular f100, en vez de hacer las 573147844013817084100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.
Referencias [editar]
↑ Knuth, 1997, pág. 80
↑ Laurence Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, página 404
↑ Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006), Álgebra Lineal, México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9.
Johnsonbaugh, Richard (2005), Matemáticas Discretas, México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
Brassard, G; Bratley, P. (1997), Fundamentos de Algoritmia, Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
Kenneth, H. Rosen (2003), Discrete mathematics and its applications, McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1.
Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999), Handbook of discrete and combinatorial mathematics, CRC. ISBN 0-8493-0149-1.
Véase también [editar]
Sucesión matemática
Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años sesenta, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
Enlaces externos [editar]
Commons alberga contenido multimedia sobre números de Fibonacci.Commons
Fibonacci's Liber Abaci en libros de Google
Sucesión de Fibonacci en Mathworld explicación muy detallada, en inglés.
Diagrama de flujo de la serie o sucesión de Fibonacci
Información en www.formación.cnice.mec.es
La Espiral de Durero y Las Meninas de Velázquez
Implementación en Pascal
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci"
